勾股定理逆定理的内容及证明方法

职业教育网 2025-10-28 09:45:47

勾股定理逆定理的内容及证明方法

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。本文整理了勾股定理逆定理的内容及其证明方法。

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a?+b?=c?，则△ABC是直角三角形。如果a?+b?>c?，则△ABC是锐角三角形。如果a?+b?<c?，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理逆定理的证明方法

如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a?+b?=c?。求证∠ACB=90°

证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。

∵∠B=∠B,∠A=∠HCB

∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)

∴AB/BC=BC/BH，即BH=a?/c

而AH=AB-BH=c-a?/c=(c?-a?)/c=b?/c

∴AH/AC=(b?/c)/b=b/c=AC/AB

∵∠A=∠A

∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)

∴∠AHC=∠CHB

∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°

∴∠AHC=∠CHB=90°

∴∠ACB=∠AHC=90°

勾股定理的证明方法

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。所以可以看出以上两个大正方形面积相等。可以列出公式为：a2+b2+4×1/2ab=c2++4×1/2ab，计算可得：：a2+b2=c2。

以上是小编给大家整理的勾股定理及勾股定理逆定理的证明方法，希望对同学们有帮助。

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