点到直线的距离公式及推导过程

职业教育网 2025-10-30 14:20:41

点到直线的距离公式及推导过程

在平面直角坐标系中，点到直线的距离是一个重要的几何概念。点到直线的距离公式是用于计算点到直线的垂直距离的公式。

设点\(P(x_0,y_0)\)，直线\(l\)的方程为\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）。

推导过程如下：

过点\(P\)作直线\(l\)的垂线，垂足为\(Q\)。

设直线\(PQ\)的方程为\(Bx - Ay + m = 0\)，因为点\(P\)在直线\(PQ\)上，所以将\(P(x_0,y_0)\)代入可得\(Bx_0 - Ay_0 + m = 0\)，从而解得\(m = Ay_0 - Bx_0\)，则直线\(PQ\)的方程为\(Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0\)。

联立直线\(l\)与直线\(PQ\)的方程，求解交点\(Q\)的坐标。

由\(\begin{cases}Ax + By + C = 0\\Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0\end{cases}\)，通过解方程组可得\(Q\)点的坐标。

最后根据两点间距离公式求出\(\vert PQ\vert\)，即点\(P\)到直线\(l\)的距离。经过一系列计算化简，最终得到点到直线的距离公式为\(d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)。

这个公式在解决很多与点和直线相关的几何问题中都有重要的应用，它为我们提供了一种精确计算点到直线距离的方法。

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